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i =

(1.3)

P

La tasa de interés siempre se presenta en forma porcentual, así: 3% mensual, 15%

semestral, 25% anual, pero cuando se usa en cualquier ecuación matemática se hace

necesario convertirla en número decimal, por ejemplo: 0,03, 0,15 y 0,25

22

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La unidad de tiempo generalmente usada para expresar las tasas de interés es el año.

Sin embargo, las tasas de interés se expresan también en unidades de tiempo menores

de un año. Si a la tasa de interés, no se le especifica la unidad de tiempo, se supone

que se trata de una tasa anual.

Ejemplo 1.2

Una entidad le presta a una persona la suma de $ 2.000.000 y al cabo de un mes paga

$ 2.050.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés pagada.

I= F-P = 2.050.000 - 2.000.000 = $50.000

I

50.000

i =

=

= 0.025 m=2,5% m

P 2.000.000

1.11 EQUIVALENCIA.

El concepto de equivalencia juega un papel importante en las matemáticas financieras,

ya que en la totalidad de los problemas financieros, lo que se busca es la equivalencia

financiera o equilibrio los ingresos y egresos, cuando éstos se dan en períodos

diferentes de tiempo. El problema fundamental, se traduce en la realización de

comparaciones significativas y valederas entre varias alternativas de inversión, con

recursos económicos diferentes distribuidos en distintos períodos, y es necesario

reducirlas a una misma ubicación en el tiempo, lo cual sólo se puede realizar

correctamente con el buen uso del concepto de equivalencia, proveniente del valor del

dinero en el tiempo.

El proceso de reducción a una misma ubicación en el tiempo, se denomina

transformación del dinero en el tiempo. Además, la conjugación del valor de dinero en

el tiempo y la tasa de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual,

significa que diferentes sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valor

económico, es decir, el mismo valor adquisitivo.

Ejemplo 1.3

Si la tasa de interés es del 15%, $ 1.000 hoy es equivalente a $1.150 dentro de un año,

o a $ 869,56 un año antes (1000/1.15).

El concepto de equivalencia, también se puede definir, como el proceso mediante el

cual los dineros ubicados en diferentes periodos se trasladan a una fecha o periodo

común para poder compararlos.

Partiendo de la base que el dinero tiene valor en el tiempo, por consiguiente, es

indispensable analizar la modalidad de interés aplicable y la ubicación de los flujos de

caja en el tiempo, por lo tanto, sin importar que existen múltiples desarrollos referente a

la ubicación, en este libro se tendrá en cuenta la ubicación puntual, la cual considera

el dinero ubicado en posiciones de tiempo especifica; tiene dos modalidades.

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Convención de fin periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) como

ocurridos al final del periodo. Por ejemplo: Si durante el año 2003, se obtuvieron $

1.500 millones de ingresos y el periodo analizado es enero 1 de 2007 a diciembre 31

de 2007, entonces, los ingresos se considerarían obtenidos el 31 de diciembre de

2007.

Convención de inicio de periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos)

como ocurridos al principio del periodo. En el ejemplo anterior los $ 1.500 millones de

ingresos se considerarían obtenidos el 1 de enero de 2007.

En este libro mientras no se indique lo contrario, siempre se trabajará con convención

de fin de periodo.

1.12 DIAGRAMA DE TIEMPO O FLUJO DE CAJA

El diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama económico

o diagrama de flujo de caja. Es una de las herramientas más útiles para la definición,

interpretación y análisis de los problemas financieros. Un diagrama de tiempo, es un

eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a medida que

transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se colocan flechas

que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o desembolsado

(FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convención los ingresos se representan

con flechas hacia arriba ( ) y los egresos con flechas hacia abajo ( ¯ ).

Al diagrama económico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de interés ( efectiva o

periódica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u homogénea

con los periodos de tiempo que se están manejando, es decir; si los periodos de

tiempos son mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, si los periodos de

tiempos son trimestrales, la tasa de interés que se maneja debe ser trimestral; si los

periodos de tiempos son semestrales, la tasa de interés debe ser semestrales, y así

sucesivamente.

Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy

(ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el presente del diagrama (PD),

mientras que en el fin, se ubicará el futuro del diagrama económico (FD) y la

terminación de la obligación financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagrama

económico, contempla presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de tiempo

puede ser el presente de uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo podrá ser

un futuro de uno o varios flujos de caja, todo depende entonces de la ubicación del

periodo de tiempo versus la ubicación de los flujos de caja.

Es importante anotar que en las matemáticas financieras: Sólo se permiten sumar,

restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismos

periodos del diagrama económico.

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FD (MAÑANA)

0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

PD (HOY)

El diagrama de tiempo que se construya para un prestamista será inverso al que se

construya para el prestatario.

Ejemplo 1.4

Una persona recibe un préstamo el 1 de enero de 2006 de $ 2.000.000 y cancela el 31

de diciembre del mismo año la suma de $ 2.500.000. Construir el diagrama económico.

a) Diagrama económico - prestamista

$ 2.500.000

Enero 1/2006 Diciembre 31/2006

$ 2.000.000

c) Diagrama económico – prestatario

$ 2.000.000

Enero 1/2006 Diciembre 31/2006

$ 2.500.000

Consideraciones

1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe se

conoce con el nombre de presente o momento cero

2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o simplemente P.

3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n)

4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro o simplemente F.

Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institución financiera que

reconoce una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila al escenario

prestamista – prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel de

prestamista y la institución financiera será el prestatario.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Una inversión realizada hoy por $ 1.200.000 genera al final de un año la suma de $

1.536.000. Se pide:

a) La suma ganada por intereses. R/. $ 336.000

b) La tasa de interés de la operación financiera. R/. 28% anual

2) Cuánto se debe invertir hoy para tener de un semestre la suma de $ 8.500.000 y se

ganen unos intereses de $ 480.000. Cuál es la tasa de interés. R/. $ 8.020.000,

5,985% semestral

3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversión hoy de $ 10.000.000 a

las siguientes tasas:

a) 1.2% quincenal.

R/. $ 120.000 quincenales

b) 2,5% mensual.

R/. $ 250.000 mensuales

c) 7% trimestral.

R/. $ 700.000 trimestrales

d) 10% cuatrimestral. R/. $ 1.000.000 cuatrimestral

e) 15% semestral.

R/. $ 1.500.000 semestral

4) Si usted invirtió $ 1.500.000 durante un año, al final del cual le entregaron $

2.000.000. Cuál fue su rentabilidad?. R/. 33,33% anual

5) A usted le concedieron un préstamo por la suma de $ 5.000.000 durante un

trimestre, al final del cual debe pagar $ 5.600.000. Cuál fue el costo del crédito?. R/

12% trimestral

6) Una persona adquiere un equipo de sonido por la suma de $ 1.800.000 y lo cancela

de la siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestrales

iguales de $ 420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puede

decir que se pagó por el equipo de sonido la suma de $ 2.040.000, si se cobra una

tasa de interés del 6,5% trimestral?. R/. No, hay que considerar la tasa de

interés que se aplicó, elemento fundamental en el valor del dinero en el

tiempo. Realmente el equipo de sonido a crédito sale por $ 2.174.400.

7) Un apartamento por valor de $ 60.000.000 se adquiere a crédito, y se desea

cancelar en un año con cuotas bimestrales iguales de $ 11.000.000. Construya el

diagrama económico desde el punto de vista del comprador y del vendedor.

8) Se recibe un préstamo en una institución bancaria por valor de $ 25.000.000 para

cancelar dentro de dos años, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construya

el diagrama económico.

9) Un préstamo por $ 15.000.000 se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas los

intereses. Si la tasa de interés es del 7% trimestral. Construya el diagrama

económico.

10)

Construya el diagrama económico del ejercicio anterior, suponiendo que los

intereses se cancelan de manera anticipada.

11) Roberto solicito prestado $ 6.300.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés

es del 30% anual simple, ¿Qué cantidad debe pagar por concepto de intereses?.

R/. $ 630.000

12) Pedro posee un capital de $ 3.200.000. Invierte 70% de su capital al 6,3% trimestral

y el resto al 11,6% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total?. R/. $

65.600.

13) El señor Ricaurte compro un televisor en el almacén muebles para el hogar. El

televisor tenía un valor de contado de $ 2.650.000, se dio una cuota inicial de $

530.000 y firmó un pagaré a 31 días por la suma $ 2.247.800. Calcule la tasa de

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interés anual aplicada (Tome el año de 360 días). R/. 0,19446% diario y 70,01%

anual.

14) Una inversión de $ 14.400.000 gana $ 2.092.800 de interés en 8 meses. Calcule: a)

La tasa de interés simple anual, b) La tasa efectiva del periodo. R/. 21,8 % anual,

14,533% en 8 meses.

15) ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $ 4.500.000 para producir $ 253.130 de

interés simple, si la tasa de interés es de 45%?. R/. 0,1250025 años.

16) En cuánto tiempo se duplicará una cierta cantidad de dinero si se invierte al 40% de

interés simple. R/. 2,5 años.

17) Abigail invirtió un total de $ 65.000.000 en dos bancos diferentes, En el Banco

Popular invirtió una parte de los $ 65.000.000 en una cuenta de ahorros que paga

rendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 91 días y a una tasa de interés

del 19,35%. En Davivienda invirtió el resto con rendimientos liquidables al

vencimiento de 91 días y una tasa de interés del 21,8%. Si al final del plazo, el

interés total fue de $ 3.458.000, ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada uno de los

bancos?. Tome año de 360 días. R/. $ 20.000.000 en el Banco Popular y $

45.000.000 en Davivienda.

18) ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de

dulces y chocolates, al comprar por $ 3.500.000 a 25 días de plazo, si le cargan una

tasa de interés del 3% mensual?. R/. $3.587.500

19) Un empleado obtiene un préstamo de su empresa por $ 4.200.000 para comprar

electrodomésticos y aceptar liquidar el préstamo dos años después. Existe el

acuerdo que mientras exista la deuda, pagará intereses mensuales de 2,5%

mensual. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?. R/. $ 105.000

20) Una persona compra a crédito una estufa que tiene un precio de contado de $

1.765.000. Queda de acuerdo en dar una cuota inicial de $ 500.000 y pago final 3

meses más tarde. Si acepta pagar una tasa de interés del 42% sobre el saldo,

¿Cuánto deberá pagar dentro de 3 meses?. R/. $ 1.397.825.

21) Una persona firma un pagaré por una deuda que tiene por $ 7.498.000 a 4 meses

de plazo. Si la tasa de interés normal es de 2,8% mensual y la tasa de interés

moratorio es del 65%, calcule la cantidad total a pagar si el documento se cancelo

25 días del vencimiento. R/. $ 8.676.227,39.

22) El señor Milton García firma un pagaré por un préstamo de $ 7.000.000 a una tasa

de 45% a 90 días de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés

moratorio igual a 25% más de la tasa normal. Calcule el interés moratorio y la

cantidad total por pagar si el documento es liquidado 12 días después de la fecha

de vencimiento. R/ $ 131.250 y $ 7.918.750.

23) Isabel invirtió $ 5.500.000 en una institución financiera a plazo de 28 días. Si al

vencimiento recibió $ 5.620.000, a) ¿qué rendimiento obtuvo?, b)¿qué tasa de

interés anual ganó?. R/ $ 120.000 y 31.42%.

24) Una computadora cuesta $ 3.250.000 de contado. Un estudiante está de acuerdo

de dar una cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 90 días, con un

recargo del 15% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual

paga el estudiante?. R/. 80% anual.

25) Luis consigue un préstamo por la suma de $ 7.500.000 a dos años y medio de plazo

y una tasa de interés simple de 2,6% mensual. ¿Cuánto pagará por concepto de

intereses?¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido?. R/. $

5.850.000 y $ 13.350.000.

27

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26) Se solicita un préstamo por $ 7.000.000 al 9,5% trimestral de interés simple,

¿cuánto debe pagar por concepto de intereses al termino de 9 meses?¿Cuál es el

valor del monto?. R/ $ 1.995.000 y $ 8.995.000.

27) Una persona obtiene un préstamo por $ 2.890.000 el 3 de febrero de 2007 y

cancela el capital principal más los intereses el 3 de julio de 2007. Obtenga los

intereses y el monto, si la tasa de interés fue del 3% mensual. R/ $ 433.500 y $

3.323.500

28) El interés ganado por un préstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de

$ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de interés anual. R/. 4.38%

y 7.5%.

29) Cristina solicita un préstamo por $ 6.000.000 para la compra de una impresora.

Acuerda pagar $ 210.000 de intereses al cabo de 36 días. ¿Qué tasa efectiva por

periodo paga por el préstamo?. R/. 3.5%.

30) Se puede comprar un computador portátil en $ 1.475.000 de contado o bien, en $

1.567.187,5 a crédito con 5 meses de plazo. Si el dinero se puede invertir al 15%

anual, ¿Qué alternativa de pago resulta más ventajosa para el comprador?. R/. Es

indiferente comprar de comprado o a crédito.

31) Un horno de microondas cuesta $ 520.000 si se paga de contado y $ 560.000 si se

paga a los 4 meses. Si la persona un préstamo de $ 520.000 por 4 meses al 9%

anual para comprar el horno y pagar de contado, le conviene?. R/. Si le conviene

solicitar el préstamo.

32) Gloria desea invertir $ 20.000.000 en dos bancos, de manera que sus ingresos

totales por concepto de intereses sean de $ 120.000 al mes. Un banco paga 7,32%

y el otro ofrece 2,32% cuatrimestral. ¿Cuánto debe invertir en cada banco? R/. $

13.333.333 y $ 6.666.667.

33) Un empresario tomo prestados a $ 20.000.000 a cuatro meses con un interés del

2,5% mensual, pagaderos al vencimiento. En el contrato se estipula que en caso de

mora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. Qué suma tendrá que

pagar si cancela a los cuatro meses y 25 días?. R/. $ 22.586.666,67.

34) Un préstamo de $ 6.700.000 a un año tiene un interés del 2,3% mensual los 6

primeros meses y el 2,8% mensual los últimos 6 meses; todos estos intereses serán

cancelados al vencimiento de la obligación principal y no habrá interés sobre

intereses. Cuál será el total a pagar al año. R/. $ 8.750.200.

35) Una persona tomó prestados $ X al 25% anual y luego los invirtió al 30% anual. Si

las ganancias que obtuvo, en esta operación fueron de $ 650.000 anuales, cuánto

había recibido en préstamo?. R/. $ 13.000.000.

36) Dos capitales, uno de $ 5.000.000 y otro de $ 2.500.000 rentan anualmente $

1.500.000. Hallar los intereses anuales y las tasas de interés sabiendo que estas se

encuentran en relación de 2/4?. R/ $ 600.000, 12% anual y 24% anual.

37) Carmen y Roberto tienen entre los dos $ 22.000.000; Carmen tiene su capital

invertido al 20% anual simple y Roberto lo tiene al 2,5% mensual simple. Si al

término de cuatro años, Roberto tiene $ 2.600.000 más que Carmen, cuál era el

capital inicial de cada uno. R/. Carmen: $ 11.450.000 y Roberto: $ 10.550.000.

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CAPITULO No 2. INTERES SIMPLE

OBJETIVOS

Al finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será capaz de:

1) Explicar los conceptos de interés simple, monto o valor futuro, valor presente

o valor actual, tiempo.

2) Explicar y distinguir la diferencia entre descuento comercial o bancario,

descuento racional o matemático.

3) Plantear y resolver ejercicios relacionados con el cálculo del valor futuro,

valor presente, tiempo tasa de interés y los diferentes tipos de descuento.

4) Plantear y resolver ejercicios relacionados con las ecuaciones de valor a

interés simple.

TEMARIO

2.1

Introducción

2.2

Definición del interés simple

2.3

Clases de intereses Simple

2.4

Desventajas del interés simple

2.5

Tablas de Días

2.6

Monto o valor futuro a interés simple

2.7

Valor presente o actual a interés simple

2.8

Cálculo de la tasa de interés simple

2.9

Cálculo del tiempo

2.10

Descuentos

2.10.1

Descuento comercial o bancario

2.10.2

Descuento real o justo

2.10.3

Descuento racional o matemático

2.11

Ecuaciones de valor

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2.1 INTRODUCCION

Es importante anotar que en realidad, desde el punto de vista teórico existen dos tipos

de interés el Simple y el compuesto. Pero dentro del contexto práctico el interés

compuesto, es el que se usa en todas las actividades económicas, comerciales y

financieras. El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al

interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el

tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema

financiero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En este capítulo, se

desarrollaran los conceptos básicos del interés simple.

2.2 DEFINICION DEL INTERES SIMPLE

Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o

invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser

la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.

La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder

adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no

equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del

capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de

una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que

dure el préstamo o la inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital

(P) y al tiempo (n). El interés simple, se puede calcular con la siguiente relación:

I = P*i*n (2.1)

En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos

básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n).

En la ecuación (2.1) se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:

a) La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir,

sin el símbolo de porcentaje.

b) La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de

tiempo. Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de

tiempo del plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido

para que su unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un

problema específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés

deberá usarse en forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se

específica la unidad de tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual.

Ejemplo 2.1

Si se depositan en una cuenta de ahorros $ 5.000.000 y la corporación paga el 3%

mensual. ¿Cuál es el pago mensual por interés?

P = $ 5.000.000

n = 1 mes

30

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i = 3%/mes

I = P*i*n ; I = 5.000.000 * 1 * 0.03 = $ 150.000/ mes

El depositante recibirá cada mes $ 150.000 por interés.

2.3 CLASES DE INTERES SIMPLE

El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras

que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que

existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30 días

al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da claridad a

lo expuesto con anterioridad.

Ejemplo 2.2

Una persona recibe un préstamo por la suma de $ 200.000 para el mes de marzo, se

cobra una tasa de interés de 20% anual simple. Calcular el interés (I), para cada una

de las clases de interés simple.

Solución:

a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360 días

y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se

conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que más

se utiliza.

31

I=pin = 200.000x 0.20 x

=$3.444.44

360

b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360

días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con

frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer

simplificaciones

30

I= pin=200.000 x0.20 x

=$3.333,33

360

c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año

y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de

interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de interés producen un

error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado exacto, lo

cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes, porque las

diferencias serán significativas cuando se usa otra clase de interés diferente al

racional. Lo importante, es realizar cálculos de intereses que no perjudiquen al

prestamista o al prestatario.

31

I=pin=200.000 x0.20 x

=$3.397,26

365

31

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d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa 365

o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente,

no tiene utilización y es el más barato de todos.

30

I=pin =200.000 x0.20 x

=$3.287,71

365

Ejemplo 2.3

Calcular el interés comercial y real de un préstamo por $ 150.000 al 30% por 70

días

Solución

70

a) Interés comercial.

I=pin=150.000 x0.30 x

=$8.750

360

b) Interés real o exacto

70

I=pin= 150.000 x 0.30 x

=$8.630,14

365

Se observa que el interés comercial resulta más elevado que el interés real para el

mismo capital, tasa de interés y tiempo. Esta ganancia adicional hace que el año

comercial sea muy utilizado en el sector financiero y en el sector comercial que vende a

crédito. Hay que recordar y dejar claro, que cuando el tiempo en un préstamo esta

dado en días, es indispensable convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés

por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria usando el año de 365 días o

366 si es bisiesto como divisor en la fórmula del interés simple o del monto, el interés

obtenido se llama interés real o interés exacto. El año de 365 días o 366 se conoce

como año natural.

Cuando se lleva a cabo la conversión usando como divisor 360 días, se dice que se

está usando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés

comercial o interés ordinario.

Si un problema no menciona de forma explícita cuál tipo de interés debe calcularse,

entonces se supone que se trata del cálculo de un interés comercial.

2.4 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE

Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple:

a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado

b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor

final no es representativo del valor inicial.

c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por

consiguiente, pierden poder adquisitivo.

32

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2.5 TABLA DE DIAS

Para realizar los cálculos de manera correcta, es necesario conocer el manejo de la

tabla de días, para determinar en forma exacta los días que transcurren entre una

fecha y otra, lo cual, es importante para el interés bancario y el racional La construcción

de la tabla consiste en asignarle a cada día del año un número en forma consecutiva;

esta asignación va desde el número 1, que corresponde al primero de enero, hasta el

número 365, que corresponde al 31 de diciembre. Cuando el año es bisiesto, hay que

adicionar un día, a partir del primero de marzo, por lo cual, el 31 de diciembre sería el

día 366. Para facilitar la identificación de las fechas, se seguirá el siguiente formato: los

primeros dos dígitos indicaran los días, y variaran entre 01 y 31, los dos dígitos

siguientes indicaran el mes, y variaran entre 01 y 12, y los últimos cuatros dígitos

indicaran el año. Por ejemplo, el 14 de abril de 2004, se podrá expresar de la siguiente

manera: 14-04-2004. La tabla de días se muestra a continuación:

DIA ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC DIA

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 66

97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196

227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29

88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30

89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31

90

151

212 243

304

365 31

Nota: Cuando el año es bisiesto, a partir del primero de marzo se adiciona un día.

33

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index-34_1.png

Ejemplo 2.4

Calcule los días transcurridos entre el 5 de abril de 2003 y 28 de diciembre del mismo

año.

Solución

Según la tabla, los días transcurridos entre el inicio del año y el 5 de abril son 95,

mientras; los días entre el inicio del año y el 28 de diciembre son 362, por lo tanto, por

diferencia 362 – 95 = 267 días.

0

04-05 12-28

El cálculo realizado anteriormente, se refiere al año real o exacto, si desea calcular los

días con base al año comercial (360 días, es decir, meses de 30 días), siga el siguiente

procedimiento.

Año Mes Día

Fecha actual:

2003

12 28

(-)

Fecha inicial :

2003

04 05

0 8

23

Son 8 meses y 23 días: 8x30 + 23 = 263 días

Ejemplo 2.5

Hallar los días transcurridos, entre el 20 mayo de 2001 y 25 de noviembre de 2002.

Solución

Teniendo en cuenta que la tabla está diseñada para un año, se debe calcular, por

separado los días que hay en cada año y luego sumarlos. Los días transcurridos entre

el inicio del año 2001 y el 20 de mayo de 2001, son 140, por lo tanto, los días que hay

entre el 20 de mayo de 2001 y el 31 de diciembre del mismo son: 365-140 = 225,

mientras los días transcurridos entre el inicio del año 2002 y el 25 de noviembre de

2002, según la tabla son 329. Entonces, los días transcurridos entre el 20 mayo de

2001 y 25 de noviembre de 2002, son: 225 + 329 = 554 días

20-05-2001 31-12-2001 25-11-2002

Ahora si el año se toma de 360 días, se obtendrá como respuesta 545 días.

34

index-35_1.png

Año Mes Día

Fecha actual:

2002

11 25

(-)

Fecha inicial:

2001

05 20

1 6

5

Son 1 año, 6 meses y 5 días: 1x360 + 6x30 + 5 = 545 días

2.6 MONTO O VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE

A la suma del capital inicial, más el interés simple ganado se le llama monto o valor

futuro simple, y se simboliza mediante la letra F. Por consiguiente,

F =P +I

(2.2)

Al reemplazar la ecuación (2.1) en la (2.2), se tiene,

F =P+Pin= (

P 1+ )

in

(2.3)

Las ecuaciones (2.2) y (2.3) indican que si un capital se presta o invierte durante un

tiempo n, a una tasa de simple i% por unidad de tiempo, entonces el capital P se

transforma en una cantidad F al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero

tiene un valor que depende del tiempo.

El uso de la ecuación (2.3), requiere que la tasa de interés (i) y el número de períodos

(n) se expresen en la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el problema

Ejemplo 2.6

Hallar el monto de una inversión de $ 200.000, en 5 años, al 25% EA.

Solución

F = ?

i = 25%

0 5 años

$ 200.000

F= (

P1+ )

in =200.000(1+0,25x )

5 = $450.000

2.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERES SIMPLE

Se sabe que: F= (

P1+ )

in , y multiplicando a ambos lados por el inverso de (1 + in),

se tiene que

F

P= (

(2.4)

1+in)

35

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index-36_1.png

Ejemplo 2.7

Dentro de dos años y medio se desean acumular la suma de $ 3.500.000 a una tasa

del 2.8% mensual, ¿Cuál es el valor inicial de la inversión?

Solución:

F = $ 3.500.000

0 i = 2,8% m 30 meses

P = ?

F

3.500.000

P=

=

= $ 1.902.173,91

(1+in) (1+0,028 x30)

De acuerdo al cálculo anterior, el valor presente, simbolizado por P, de un monto o

valor futuro F que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida

hoy a una tasa de interés dada producirá el monto F. Encontrar el valor presente

equivale a responder la pregunta: ¿Qué capital, invertido hoy a una tasa dada, por un

período determinado, producirá un monto dado?. En caso de una obligación el

contexto, es exactamente el mismo, la pregunta sería: ¿Qué capital, prestado hoy a

una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto futuro a pagar?

Ejemplo 2.8

Hallar el valor presente de $ 800.000 en 4 años y medio, al 3% mensual.

Solución:

a) De forma mensual

n = 4.5x12 = 54 meses

F = $ 800.000

i = 3% m

0 54 meses

P = ?

F

800.000

P=

=

=305.343.51

(1+in) (1+0,03x54)

b) De forma anual

i = 0,03 x 12 = 36% anual

36

index-37_1.png

F = $ 800.000

i = 36% anual

0 4,5 años

P = ?

F

800.000

P=

=

=305.343.51

(1+in) (1+ 0,36x4,5)

2.8 CALCULO DE LA TASA DE INTERES SIMPLE

Partiendo que: F = P(1+ in) , multiplicando a ambos lados por el inverso de P y

F

restando uno a ambos lado de la ecuación se obtiene:

-1= in

P

, si luego se multiplica

los dos términos de la ecuación por el inverso de n, resulta:

æ F -1ö

ççèP ÷÷

i

ø

= n

(2.5)

Ejemplo 2.9

Una persona le prestó a un amigo la suma de $ 2.000.000 y paga después de 8 meses

la suma de $ 2.400.000 ¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron?.

Solución

$ 2.400.000

i = ? m

0 8 meses

$ 2.000.000

æ F

ö æ 2.400.000

ç -1÷ ç

1

- ö÷

çèP ÷ ç

ø è 2.000.000

÷

i=

=

ø =0.025 m= 2,5% m

n

8

2.9 CALCULO DEL TIEMPO (n)

Partiendo que: F = P(1+ in) , multiplicando a ambos lados por el inverso de P y

F

restando uno a ambos lado de la ecuación se obtiene:

-1= in

P

, si luego se multiplica

los dos términos de la ecuación por el inverso de i, resulta:

37

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index-38_1.png

æ F -1ö

ççèP ÷÷

n

ø

=

i

(2.6)

Ejemplo 2.10

¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 20% de interés anual simple?.

Solución:

$ 2

i = 20% anual

0 n años

$ 1

æ F

ö æ 2

ç

1

- ÷ ç

1

- ö÷

çèP ÷ ç

ø è 1

÷

n =

=

ø =5 años

i

0,20

Ejemplo 2.11

¿ En cuánto tiempo se acumularían $ 8.000.000 si se depositan hoy $ 2.500.000 en un

fondo que paga al 3% simple mensual?.

Solución:

$ 8.000.000

i = 3% m

0 n meses

$ 2.500.000

æ F

ö æ 8.000.000

1

-

1

- ö

ççèP ÷÷ çç

ø è 2.500.000

÷÷

n =

=

ø = 73,3 meses

i

0,03

2.10 DESCUENTO

El descuento es una operación de crédito que se realiza normalmente en el sector

bancario, y consiste en que los bancos reciben documentos negociables como

cheques, letras de cambio, pagares, de cuyo valor nominal descuentan una cantidad

equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se

38

index-39_1.png

recibe y la fecha del vencimiento. Con este procedimiento se anticipa el valor actual del

documento. Existen dos tipos de descuento en el interés simple:

a) El descuento comercial o bancario

b) El descuento real o justo

c) El descuento racional o matemático

En el interés compuesto, existe el descuento compuesto

2.10.1 Descuento comercial o bancario

Es el que se aplica sobre el valor nominal del documento (F). Puede decirse que es el

interés simple del valor nominal. En el descuento comercial o bancario, el interés se

cobra por adelantado, en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento. Los intereses

cobrados anticipadamente se llaman descuento. Por definición se tiene:

D =

in=

dn

n

V

n

V

(2.7)

D = Descuento comercial o intereses cobrados anticipadamente (Es la cantidad

desconocida)

V = Es el valor que se encuentra escrito en el documento (valor nominal) y que

n

sólo es exigible al vencimiento; si el documento gana intereses, el valor nominal

será el monto o valor futuro.

d = Es el tipo de interés que se aplica para descontar un documento (tasa de

descuento).

n = Es el número de períodos que aún le falta al documento para vencer, es decir, el

tiempo que transcurre, entre la fecha de negociación (venta) y la fecha de vencimiento.

El valor presente o valor de la transacción, siempre será igual a la diferencia del valor

nominal ( V ) y el descuento (D), y es la cantidad de dinero que recibe realmente la

n

persona que negocia el documento.

V =

-D=

-

dn=

(1-dn)

n

V

T

n

V

n

V

n

V

(2.8)

V , se conoce como valor efectivo del documento

T

Ejemplo 2.12

El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $

350.000. Calcular el valor efectivo y nominal de la operación.

Solución:

Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.

39

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index-40_1.png

D

350.000

El valor nominal se determina así:

=

=

10.000.

$

000

n

V

=

dn (0,07 * 0,5)

El valor efectivo se calcula de la siguiente manera:

V =

(1-dn) =10.000.000 -

(1 0,07 * 0,5) =$ 9.650.000

n

V

T

Ejemplo 2.13

Calcular el valor presente o de la transacción de un documento de $ 80.000 que es

fechado el 25 de noviembre de 2002, con un plazo de 90 días e intereses del 20% y

que va ser descontado el 6 de enero del siguiente año, al 30%.

Solución:

Mediante la fórmula F= (

P1+ )

in , se calculará el valor final del documento

90

F=

= 80.000(1+0.20x

)=$84.000

n

V

360

Enseguida se procede al cálculo del descuento:

48

D=

dn = 84.000x0.30x

=$3.360

n

V

360

Finalmente el valor de la transacción o presente será:

V =

- D = 84.000-3.360 = $ 80.640

n

V

T

Ejemplo 2.14

Una letra de $ 500.000 es cancelada 4 meses antes de vencerse. Si el descuento es

del 2,5% mensual, en forma comercial, con cuánto se paga?

Solución:

=

(1-dn)=500.000(1- 0,025x4) $ 450.000

n

V

T

V

=

Ejemplo 2.15

Una letra de $ 250.000 se descontó al 3% mensual, en forma comercial, arrojando un

valor efectivo de $ 190.000, cuánto le faltaba para vencerse?.

40

index-41_1.png

Solución:

V =

(1- dn)

=

-

n

V

;

190.000

250.000 (1 0,03n)

T

190.000 =1-0,03n;

0,76 =1-0,03n ; n= 8meses

250.000

Ejemplo 2.16

Una letra de $ 250.000 ganaba una tasa de interés i mensual simple por un año; seis

meses antes de vencerse fue descontada en una institución financiera a una d

mensual, en forma comercial, y se recibió por ella $ 247.210, habiendo cobrado el

banco $ 47.790 por el descuento. Se pide: ¿Qué tasa de interés ganaba la letra y a qué

tasa fue descontada por el banco?.

Solución:

a) Determinación del valor de vencimiento o nominal del documento

V =

-D

n

V

T

; Por consiguiente:

=

+D =247.210+ 47.790 $295.000

T

V

n

V

=

Entonces $ 295.000 es el monto de $ 250.000 a una tasa i mensual por 12

meses

b) Cálculo de la tasa de interés que ganaba la letra

F =P(1+in)

295.000

;

295.000 = 250.000 (1+12i) ;

=1+12i

250.000

Donde: i=1,5% mensual simple

c) La tasa de descuento, aplicada por la institución financiera se calcula así:

47.790

D =

dn

n

V

; Entonces:

47.790 =295.000 (6d) ; donde: d= 295000x6

Por consiguiente:

d= 2,7% mensual simple

Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operaciones

comerciales a corto plazo, porque si éste es muy extenso el descuento puede alcanzar

todo el valor del documento y entones no tendría sentido la operación de descuento

2.10.2 Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento real o justo se calcula sobre el valor

real que se anticipa, y no sobre el valor nominal. Se simboliza con Dr.

41

.::UdecomBooks::.

index-42_1.png

El descuento real, se puede determinar con la siguiente expresión: D =

-P

n

V

r

(2.9)

F

; donde: P = (1+in)

Ejemplo 2.17

El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes de

su vencimiento a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.

Solución:

El descuento comercial seria:

D =

dn = 2.185.000 * 0,20 * (2/12) =$ 72.833,33

n

V

El valor comercial del documento es:

V =

-D=2.185.000 -72.833,33 =$2.112.177,67

n

V

T

Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, se

encuentra el valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, se

utiliza la siguiente fórmula:

F

2.185.000

P=

=

= $ 2.114.516,13

(1+in)

2

(1+0,2 x

)

12

El descuento real seria:

=

-P=2.185.000-

13

2.114.516,

$70.483,87

n

V

r

D

=

,

es inferior al descuento comercial.

2.10. 3 Descuento Racional o matemático

El descuento racional, es aquel que se determina sobre el valor efectivo de un

documento.

=Descuento racional V dn

r

D

= T

(2.10)

Se tiene que:

V =

-D =

- V dn

n

V

T

n

V

r

T

; por consiguiente :

= V + V dn = V (1 dn)

n

V

+

T

T

T

; de donde

n

V

V =

T

(1 + dn) (2.11) ; al reemplazar (2.11) en (2.10) se tendrá:

42

index-43_1.png

é

n

V

ù

D = ê

ú dn

r

(2.12)

ê(1 + dn)

ë

úû