Matemática 2. Educación Media por Mario Zañarte Navarro - muestra HTML

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PAGS 1-3_Maquetación 1 16-08-11 10:47 Página 1

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,

MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MAURICIO RAMOS RIVERA

LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA

LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN FÍSICA

UNIVERSIDAD DE CHILE

CREDITOS MATEMAT II TEXTO 18/11/09 15:48 Page 2

El material didáctico Matemática 2º,

para Segundo Año de Educación Media, es

una obra colectiva, creada y diseñada por el

Departamento de Investigaciones Educativas

de Editorial Santillana, bajo la dirección de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:

EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:

VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN:

JAVIERA SETZ MENA

AYUDANTE DE EDICIÓN:

ALDO PEREIRA SOLIS

AUTORES:

MARIO ZAÑARTU NAVARRO

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

MAURICIO RAMOS RIVERA

REVISIÓN DE ESPECIALISTA:

JOSÉ CORTÉS OTÁROLA

MANUEL SALAZAR CÓRDOVA

CORRECCIÓN DE ESTILO:

ISABEL SPOERER VARELA

ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO

DOCUMENTACIÓN:

PAULINA NOVOA VENTURINO

MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES

La realización gráfica ha sido efectuada

bajo la dirección de:

VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:

CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN LICITACIÓN:

XENIA VENEGAS ZEVALLOS

D

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del

ISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:

"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o XIMENA MONCADA LOMEÑA

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la

MARIELA PINEDA GÁLVEZ

reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

FOTOGRAFÍAS:

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones,

ARCHIVO SANTILLANA

Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

CUBIERTA:

PRINTED IN CHILE

XENIA VENEGAS ZEVALLOS

Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A.

ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1566 - 6

PRODUCCIÓN:

Inscripción N° 186.188

GERMÁN URRUTIA GARÍN

www.santillana.cl

Referencias de los Textos Educación Matemática 2 y 3, Educación Media, de los autores: Ángela Baeza Peña, María José García Zattera, Marcia Villena Ramírez, Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa y Rodrigo Hernández Reyes. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005.

La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

CREDITOS MATEMAT II TEXTO 18/11/09 15:48 Page 3

Presentación

El texto Matemática Segundo Año Medio ha sido creado y diseñado pensando en tus intereses,

gustos e inquietudes.

Este año profundizarás algunos de los temas vistos en tu Primer Año de Educación Media con el estudio de los números reales y de las expresiones algebraicas fraccionarias. Además, te presentamos una Unidad de sistemas de ecuaciones lineales que te permitirá comprender, modelar y resolver situaciones cercanas a la vida diaria.

En el estudio de la Geometría, podrás profundizar tus conocimientos relacionados con la semejanza de figuras planas, incluyendo los teoremas de Thales y de Euclides, y con la circunferencia, tanto respecto de las relaciones entre sus ángulos, como de las relaciones métricas de sus trazos.

Te presentamos una Unidad de Datos y azar cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e interpretación de la información entregada por los medios de comunicación y para manejar recursos objetivos para fundamentar tus opiniones.

Te invitamos a que, junto a tus compañeros y compañeras, descubras, deduzcas, hagas conjeturas, inventes y resuelvas problemas usando otras estrategias, distintas a las que planteamos en este Texto, de manera que seas un constructor de tu aprendizaje matemático.

Presentación | 3

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Índice

12

Unidad 1: NÚMEROS Y RAÍCES

14

¿CUÁNTO SABES?

16

Números racionales en la recta numérica

18

Números irracionales

20

Números reales

22

Aproximación de un número irracional

24

MI PROGRESO

25

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

27

Ubicación de raíces en la recta numérica

29

Irracionalidad de algunas raíces cuadradas

31

Raíces enésimas

Cálculo de raíces enésimas y

33

sus propiedades

Relación entre raíces enésimas y

35

potencias de exponente racional

37

Situaciones que involucran raíces

41

MI PROGRESO

42

Logaritmos

46

Propiedades de los logaritmos

48

Propiedades de las operaciones de los logaritmos

50

Ecuaciones logarítmicas

53

Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas

55

Herramientas tecnológicas

59

MI PROGRESO

60

CÓMO RESOLVERLO

62

EN TERRENO

64

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

66

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

4 | Índice

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68

Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

106

Unidad 3: SISTEMAS DE ECUACIONES

FRACCIONARIAS

70

¿CUÁNTO SABES?

108

¿CUÁNTO SABES?

72

Fracciones algebraicas

110

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

74

Comparación de fracciones algebraicas

Planteo de sistemas de ecuaciones

112

lineales con dos incógnitas

76

Análisis de fracciones algebraicas

114

Método gráfico

78

Restricciones en fracciones algebraicas

116

Herramientas tecnológicas

79

Herramientas tecnológicas

Análisis de las soluciones en el

118

80

Simplificación de fracciones algebraicas

plano cartesiano

82

Multiplicación de fracciones algebraicas

120

MI PROGRESO

84

División de fracciones algebraicas

121

Método de igualación

86

MI PROGRESO

123

Método de sustitución

Mínimo común múltiplo de expresiones

87

125

Método de reducción

algebraicas

Análisis algebraico sobre la existencia

89

Adición de fracciones algebraicas

127

de las soluciones

91

Sustracción de fracciones algebraicas

129

Pertinencia de las soluciones

Ecuaciones que involucran fracciones

93

algebraicas

Otros sistemas asociados a sistemas

131

de ecuaciones lineales

Situaciones que involucran fracciones

95

algebraicas

133

MI PROGRESO

97

MI PROGRESO

134

CÓMO RESOLVERLO

98

CÓMO RESOLVERLO

136

EN TERRENO

100

EN TERRENO

138

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

102

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

140

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

104

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

Índice | 5

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142

Unidad 4: SEMEJANZA

144

¿CUÁNTO SABES?

146

Semejanza de figuras

148

Semejanza de triángulos: criterio AA

150

Semejanza de triángulos: criterio LLL

152

Semejanza de triángulos: criterio LAL

154

Análisis de semejanza en figuras planas

Aplicación de la semejanza

156

en modelos a escala

158

MI PROGRESO

159

Teorema de Thales

162

Teorema general de Thales

163

Herramientas tecnológicas

165

División de un trazo en una razón dada

167

Teorema de Euclides

169

Aplicaciones del teorema de Euclides

171

Homotecia

174

Herramientas tecnológicas

175

MI PROGRESO

176

CÓMO RESOLVERLO

178

EN TERRENO

180

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

182

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

6 | Índice

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184

Unidad 5: CIRCUNFERENCIA

214

Unidad 6: DATOS Y AZAR

186

¿CUÁNTO SABES?

216

¿CUÁNTO SABES?

188

Medición de arcos

218

Medidas de dispersión

190

Ángulos del centro y ángulos inscritos

Medidas de dispersión para datos

222

agrupados

194

Ángulos semi-inscritos

Comparación de dos o más

196

MI PROGRESO

224

conjuntos de datos

197

Ángulos interiores y exteriores

226

Homogeneidad y heterogeneidad

a una circunferencia

228

Muestreo aleatorio simple

Proporcionalidad entre las cuerdas

199

de una circunferencia

230

Herramientas tecnológicas

Proporcionalidad entre las secantes

232

MI PROGRESO

201

de una circunferencia

233

Conjuntos

Proporcionalidad entre las secantes y

203

235

Técnicas de conteo

tangentes de una circunferencia

239

Regla de Laplace

205

MI PROGRESO

241

Probabilidad de la unión

206

CÓMO RESOLVERLO

243

Probabilidad de la intersección

208

EN TERRENO

247

MI PROGRESO

210

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

248

CÓMO RESOLVERLO

212

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

250

EN TERRENO

252

SÍNTESIS DE LA UNIDAD

254

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

256

SOLUCIONARIO

271

BIBLIOGRAFÍA

Índice | 7

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Organización del Texto

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que te rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él.

A través de sus 6 unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

Expresiones

algebraicas

2Unidadfraccionarias

CONVERSEMOS DE:

Los antiguos griegos eran conocidos por buscar la perfección en todas las cosas. El Partenón de Atenas, templo ubicado en la Acrópolis, dedicado a la diosa Atenea y considerado el monumento más importante de la civilización griega antigua, está construido de manera que el largo y ancho de la base forman EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:

un rectángulo que consideraban ideal. Es un rectángulo tal que, si se quita el mayor cuadrado posible, se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos lados están en la misma proporción que el rectángulo original.

• Interpretar las expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la

Esta relación entre los lados del rectángulo se puede expresar como:

operatoria con fracciones numéricas.

x + 1 = x

• Reconocer para qué valores una expresión fraccionaria algebraica puede ser positiva,

x

negativa o cero, y para qué valores se indetermina.

• ¿Has visto alguna vez una expresión como esta?

• Resolver situaciones en las que sea necesario simplificar fracciones algebraicas.

• ¿Existe algún valor de x que satisface tal relación?, ¿cómo lo sabes?

• Resolver situaciones en las que sea necesario sumar, restar, multiplicar o dividir

• ¿Para qué valores de x está definida la fracción del lado izquierdo?

fracciones algebraicas.

• Intenta dibujar un rectángulo que cumpla con esta condición.

68 | Unidad 2

Expresiones algebraicas fraccionarias | 69

EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A...

En esta sección conocerás los principales

CONVERSEMOS DE...

objetivos que se espera que logres con el

A través de una introducción al tema de la unidad,

desarrollo de la unidad.

conectamos elementos e imágenes de la vida

diaria con el contenido que trabajarás. Además,

encontrarás preguntas relacionadas con la

imagen y con los contenidos de la unidad que

te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y

argumentar a partir de tus experiencias.

8 | Oganización del Texto

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¿Cuánto sabes?

Unidad 2

¿CUÁNTO SABES?

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.

⎛ 1

⎞ ⎛

2

2

5 5

3

5

6 3 9

f.

+

− 3

2

2

a

a

b

b + ab⎟ − ⎜ b b

a − 5 ab

⎝2

7

3

9 ⎠ ⎝6

5

10

¿QUÉ DEBES RECORDAR?

1. Resuelve los siguientes ejercicios con fracciones y simplifica cada

2

vez que sea necesario.

g. ( ab + 2 b c) · (3 a c)

⎞ ⎛ ⎛

⎞⎞

En esta sección, te invitamos

1 3

2 3

2

2

a. ⎜ + ⎟ − 1

⎜ −⎜ + ⎟⎟

h. (5

) · (3 –

xy – 3 x

y

yx)

4 4 ⎠ ⎝

⎝3 2⎠⎠

Podrás activar tus conocimientos

6

3 x ⎞ ⎛3

2

4

9 ⎛6

7 ⎞

i.

x +

⎟⋅⎜ − x

b.

− 8 + − ⎜ +

3

x

5 ⎠ ⎝5

5

5 ⎝ 5 10 ⎠

a resolver ejercicios y

2

8 2 5

9

c.

+ − ⋅ +

previos a través de un resumen

5 6

3 3

7

Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.

¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve

3 2

9 3

9 2

d. 5 + + −

⋅ − 2 + ⋅

correctamente el ejercicio.

problemas que te ayudarán

5 3 6 2

4 3

1 9 ⎛ 3 ⎛6

1⎞ 9

que incluye los principales

e.

− ⋅ ⎜ −⎜ − 2 + ⎟+ − 5⎟

9 3 ⎝ 2 ⎝ 4

3⎠ 4

a evaluar tus conocimientos

2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

Justifica tu respuesta.

¿QUÉ DEBES RECORDAR?

conceptos trabajados en años

a. La adición de fracciones cumple con las propiedades asociativa y

• Para sumar o restar fracciones con igual denominador, se suman o restan los numeradores

conmutativa.

y se conserva el denominador.

y a recordar lo que aprendiste

0

• Para sumar o restar fracciones con distinto numerador, se puede amplificar o simplificar

b. Si a ≠ 0, entonces

= 0

a

anteriores y que te servirán

hasta obtener fracciones equivalentes con igual denominador y, luego, sumarlas o restarlas.

a + b

• Al multiplicar fracciones, se obtiene una fracción cuyo numerador corresponde al producto c. Si a, b ∈ ޚ y a ≠ 0, entonces

= b

a

de los numeradores, y cuyo denominador, al producto de los denominadores.

en años anteriores y que

a · b

d. Si a, b ∈ ޚ y a ≠ 0, entonces

= b

a

a

c

a · c

En general, si a, b, c, d ∈ ޚ, b ≠ 0, d ≠ 0

·

=

como apoyo para los

1

b

d

b · d

e.

existe.

0

• Para dividir fracciones, se puede multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

serán la base para el desarrollo

f. La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades

a

c

a

d

conmutativa y asociativa.

En general, si a, b, c, d ∈ ޚ, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0

:

=

·

b

d

b

c

aprendizajes que se espera que

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

• Algunas factorizaciones y productos notables son:

2

2

2

de la unidad.

( a Ϯ b) = a Ϯ 2 ab + b

(cuadrado de binomio)

a. 2 x 6 + 5 x 6

2

2

( a + b) · ( a b) = a b

(suma por su diferencia)

logres en la unidad.

b. 5 y 2 – y 2

2

x + ( a + b) · x + ab = ( x + a) · ( x + b) (producto de dos binomios con un término común)

c. 3 x 3 · 5 x 4

3

3

2

2

3

( a Ϯ b) = a Ϯ 3 a b + 3 ab Ϯ b

(cubo de binomio)

d. 6 a 2 : 4 a 3

3

3

2

2

a Ϯ b = ( a Ϯ b) · ( a ϯ ab + b )

(suma y diferencia de cubos)

⎛ 4 a

⎞ ⎛

2

7

3

e.

− 5 a − 3 b⎟−⎜ −6 b

a

+

⎝ 5 b

⎠ ⎝ 4 b

b

70 | Unidad 2

Expresiones algebraicas fraccionarias | 71

Páginas de desarrollo

ANALICEMOS...

EN TU CUADERNO

Fracciones algebraicas

Unidad 2

Por medio de preguntas,

Resolverás variadas actividades

E

Ana debe trotar cuatro vueltas a la pista de atletismo de su colegio. Su

N TU CUADERNO

desempeño es como sigue: se demora t segundos en dar la primera vuelta,

luego trota más rápido, demorándose t – 10 segundos en la segunda, pero

1. Calcula cuál sería la rapidez de Ana en cada vuelta suponiendo ahora que en la primera vuelta trabajarás el razonamiento,

cerca del final se cansa un poco, y se demora t – 5 segundos en la tercera

se demora:

para ir construyendo los

vuelta y t + 5 segundos en dar la última vuelta.

a. 1 minuto.

b. 1 minuto y 10 segundos.

c. un minuto y medio.

ANALICEMOS...

En cada caso, ¿en qué vueltas se tienen la mayor y menor velocidad?

• Si la distancia recorrida en una vuelta es a, ¿qué expresión permite

¿Existe alguna diferencia con el ejemplo? De ser así, ¿en qué casos cambian?

explorarás el contenido

conceptos y reforzando así

calcular la rapidez con que recorrió cada vuelta?

• ¿En qué vuelta trotó a mayor rapidez y en qué vuelta a menor rapidez?

2. Determina el valor de las siguientes fracciones algebraicas si n = 1, 2, 3, 4, 5: 1

n 2 – 1

2 + n 2

Si los datos de la situación anterior se organizan en una tabla, se obtiene:

a.

c.

e.

matemático que aprenderás,

n + 1

2 n + 7

tu aprendizaje.

n 3 + 1

Distancia recorrida

Tiempo

Rapidez

n

RECUERDA QUE...

3 – 2 n

4 n – 1

(–1) · n

a

b. d.

f.

Primera vuelta

a

t

5 n

2 n

t

n 2 + 1

pondrás en práctica lo

a

• La rapidez es el cuociente entre la

Segunda vuelta

a

t – 10

t – 10

3. Observa el siguiente ejemplo:

distancia recorrida y el tiempo

a

empleado en recorrerla.

Tercera vuelta

a

t – 5

1 2 3 4

5

n

t – 5

Las fracciones ,

,

,

,

, ..., son generadas por la fracción algebraica

, porque se obtienen

d

3 5 7 9 11

2n + 1

que ya sabes, compartirás tus

v =

a

t

Cuarta vuelta

a

t + 5

al remplazar n = 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente.

t + 5

a

a

a

a

• Los elementos de una fracción son:

Encuentra la fracción algebraica que genera las siguientes fracciones en cada caso:

Luego, las expresiones

,

,

y

representan la rapidez de

t t – 10 t – 5

t + 5

a

Numerador

1 4

9 16 25

2 5 10 17 26

Ana en cada vuelta. Expresiones como las anteriores son llamadas expresiones

a.

,

,

,

,

, . .

c.

, ,

,

,

, ...

ideas y extraerás

b

Denominador

4 9 16 25 36

2 9 28 65 126

algebraicas fraccionarias o simplemente fracciones algebraicas.

Observa que corresponden a cuocientes entre expresiones algebraicas.

1 1

1

1

1

1 2

3

4

5

Tal como en las fracciones, se llama numerador y denominador a cada parte

b. – ,

, –

,

, –

, . .

d. – ,

, –

,

, –

, . .

EN RESUMEN

3 6

11 18

27

2 5

10 17

26

de la fracción algebraica.

GLOSARIO

conclusiones.

Ahora, considerando que una pista de atletismo tiene 400 m se puede remplazar

Desigualdad: expresión matemática

este valor por a, y suponiendo que en la primera vuelta Ana se demoró 80 s,

que sirve para representar que cierta

se obtiene:

cantidad es menor o mayor que otra.

Encontrarás explicaciones,

a

400

Primera vuelta:

=

= 5

Rapidez: 5 m/s

t

80

EN RESUMEN

a

400

GLOSARIO

Segunda vuelta:

=

= 5,71

Rapidez: 5,71 m/s

t – 10

70

Dadas dos expresiones algebraicas representadas por p y q, con q ≠ 0, llamaremos expresión algebraica Álgebra:: rama de la matemática en

formalizaciones o definiciones

a

400

p

Tercera vuelta:

=

= 5,33

Rapidez: 5,33 m/s

fraccionaria o fracción algebraica a toda expresión de la forma

.

la cual las operaciones aritméticas

t – 5

75

q

se generalizan empleando números,

a

400

Ejemplo:

letras y signos. Cada letra o signo

Cuarta vuelta:

=

= 4,7

Rapidez: 4,7 m/s

t + 5

85

2

n + 1

representa simbólicamente un

Las expresiones

y

son fracciones algebraicas.

n

que destacan y precisan lo que

– 1

número u otra entidad matemática.

Luego, Ana trotó con mayor rapidez durante la segunda vuelta, y con menor

3 n 2 – n + 9

rapidez en la última vuelta.

72 | Unidad 2

Expresiones algebraicas fraccionarias | 73

vas aprendiendo.

Restricciones en fracciones algebraicas

Unidad 2

x + 1

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

Pedro y Pablo necesitan analizar la fracción algebraica

. Quieren saber

x

HERRAMIENTAS

cuándo se obtienen valores positivos y negativos de esta expresión.

En esta actividad, aprenderás cómo analizar expresiones algebraicas y obtener sus valores utilizando una planilla de cálculo como Excel.

ANALICEMOS...

Primero, debes familiarizarte con el procedimiento

• Si x es un número real cualquiera, ¿cómo son los valores que se obtienen

para escribir fórmulas, y la manera de remplazar valores

TECNOLÓGICAS

para la expresión dada?, ¿positivos o negativos?, ¿enteros o decimales?

en ellas. Considera, por ejemplo, la fórmula x 2 + 5.

Justifica tus respuestas..

• Selecciona en la celda A2 y escribe un número real.

• ¿Existen valores que hacen indefinida esta expresión?, ¿cuál o cuáles?

• A continuación, al lado escribe la fórmula,

• ¿Cómo se describe lo que ocurre para estos casos?

Aprenderás a utilizar planillas

escribiendo en lugar de x la celda en la que escribiste

tu número. Es decir, escribe como fórmula

= A2^2 + 5.

Para diversos valores de x, Pedro y Pablo obtienen la siguiente tabla:

• Aparecerá el resultado de remplazar en la fórmula el

de cálculo o programas

valor escrito antes.

Valor de x

–10

–4

–2

–1 –0,5 –0,1

0

0,1

0,5

1

2

GLOSARIO

x

x + 1

–9

–3

–1

0

0,5

0,9

1

1,1

1,5

2

3

Ahora estás en condiciones de analizar fracciones algebraicas. Como ejemplo considera la expresión

.

1 – x

x

–10

–4

–2

–1

0,5

0,1

0

0,1

0,5

1

2

computacionales.

En una planilla de cálculo como Excel, haz lo siguiente:

Cuociente

0,9 0,75 0,5

0

–1

–9

11

3

2

1,5

• En la columna A escribe, hacia abajo, una serie de números, los cuales pueden ser enteros, Te presentará nuevos

fraccionarios, positivos o negativos. Para anotar fracciones, anota en la celda correspondiente, por GLOSARIO

ejemplo =5/7.

• Luego, en B1 escribe lo siguiente:

Una fracción algebraica está

Según los valores que aparecen en la fila de los cuocientes, se observa que:

=A1/(1-A1)

indefinida

, ya que con esto ingresarás la fórmula;

para un cierto valor de

términos matemáticos

• Cuando x = –1, el valor de la expresión es 0.

al terminar, aprieta enter. El número que aparece es

una variable si su denominador se

• Si x es positivo y cercano a 0, el cuociente es cada vez mayor.

el resultado de remplazar en la expresión el valor

anula para tal valor y el numerador

• Si x es positivo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.

escrito en A1.

es distinto de 0.

• Si x es negativo y cercano a 0, el cuociente es cada vez menor.

a

Si a ≠ 0, está

indefinida.

• Si x es negativo y lejano a 0, el cuociente es un número cercano a 1.

A continuación, copia el resultado que aparece en B1

relacionados con el

0

• Cuando x = 0, la expresión se indefine, y se dice que tiene una restricción.

de manera que aparezca abajo de cada valor escrito

anteriormente. Lo que hace la planilla de cálculo es

copiar la fórmula escrita (en este caso, la fracción

algebraica) y mostrar el resultado inmediatamente.

EN RESUMEN

contenido que se

Si aparece el mensaje #¡DIV/0! , el valor al que

acompaña es una restricción para x.

Para el análisis de expresiones algebraicas fraccionarias, es importante considerar valores distintos, positivos y negativos, grandes y pequeños. Además, se debe distinguir si la expresión se indefine y Ejercicios

los valores para los cuales se anula.

Repite el procedimiento anterior de análisis, indicando los valores de x para los cuales las expresiones está desarrollando.

son positivas, negativas o cero, además de los puntos donde la expresión no está definida.

2 x

1 – 2 x

1.

2.