Las Matemáticas en Grecia Durante los Años 800 A.C- 600 D.C por Iván Sánchez Menor - muestra HTML

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LAS MATEMATICAS EN GRECIA

DURANTE LOS AÑOS

800 a.C- 600 d.C.

Iván Sánchez Menor Las Matemáticas en Grecia durante los años 800 a.C.- 600 d.C.

Este trabajo ha sido realizado por el alumno:

Iván Sánchez Menor.

Industrias Agraria y Alimentaria.

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Iván Sánchez Menor Las Matemáticas en Grecia durante los años 800 a.C.- 600 d.C.

Ingeniería Técnica Agraria ( Ciudad Real ).

INDICE:

PORTADA.

DATOS DEL ALUMNO.

INDICE.

TEMA 1.- LOS ORIGENES DE LA MATEMATICA CLASICA GRIEGA.

1.1.- EL MARCO HISTORICO. ................................................................................. 5

1.2.- LAS FUENTES GENERALES. .......................................................................... 6

TEMA 2.- EL PERIODO CLASICO.

2.1.- LAS PRINCIPALES ESCUELAS DEL PERIODO CLASICO. .................... 8

2.1.1.- LA ESCUELA JONICA. ..................................................................... 9

2.1.2.- LOS PITAGORICOS. ......................................................................... 10

2.1.3.- LA ESCUELA ELEATICA. ............................................................... 15

2.1.4.- LOS SOFISTAS. .................................................................................. 18

2.1.5.- LA ESCUELA PLATONICA.............................................................. 24

2.1.6.- LA ESCUELA DE EUDOXO. ........................................................... 26

2.1.7.- ARISTOTELES Y SU ESCUELA. .................................................... 29

TEMA 3.- EUCLIDES Y APOLONIO.

3.1.- INTRODUCCION. .............................................................................................. 33

3.2.- EUCLIDES. ......................................................................................................... 34

3.2.1.- LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES. ................................................ 34

3.2.1.1.- EL MARCO DE LOS ELEMENTOS. .............................. 34

3.2.1.2.- LAS DEFINICIONES Y AXIOMAS DE LOS

ELEMENTOS DE EUCLIDES. .................................................................... 35

3.2.1.3.- LOS LIBROS I AL IV DE LOS ELEMENTOS................ 37

3.2.1.4.- EL LIBRO V: LA TEORIA DE PROPORCIONES......... 44

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3.2.1.5.- EL LIBRO VI: FIGURAS SEMEJANTES. ..................... 48

3.2.1.6.- LOS LIBROS VII, VIII Y IX: LA TEORIA DE LOS

NUMEROS. .................................................................................................... 53

3.2.1.7.- EL LIBRO X: LA CLASIFICACION DE LOS

INCONMENSURABLES. .............................................................................. 55

3.2.18.- LOS LIBROS XI, XII Y XIII: GEOMETRIA DE

SOLIDOS Y METODO DE EXHAUSCION............................................. 56

3.2.2.- OTRAS OBRAS MATEMATICAS DE EUCLIDES. ...................... 61

3.3.- APOLONIO. ........................................................................................................ 62

3.3.1.- LA OBRA MATEMATICA DE APOLONIO. ................................. 62

TEMA 4.- EL PERIODO HELENISTICO O ALEJANDRINO.

4.1.- INTRODUCCION. .............................................................................................. 74

4.1.1.- LA FUNDAMENTACION DE ALEJANDRIA. .............................. 74

4.1.2.-

EL

CARÁCTER

DE

LA

MATEMATICA

GRECO-

ALEJANDRINA. ......................................................................................................... 77

4.2.- GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. ............................................................ 79

4.2.1.- AREAS Y VOLUMENES EN LOS TRABAJOS DE

ARQUIMEDES. ........................................................................................................... 79

4.2.2.- AREAS Y VOLUMENES EN LOS TRABAJOS DE HERON. ...... 90

4.2.3.- ALGUNAS CURVAS EXCEPCIONALES. ..................................... 91

4.2.4.- EL NACIMIENTO DE LA TRIGONOMETRIA. ........................... 93

4.2.5.- LA ACTIVIDAD GEOMETRICA TARDIA EN

ALEJANDRIA. ............................................................................................................ 99

4.3.- ARITMETICA Y ALGEBRA. .......................................................................... 105

4.3.1.- CRECIMIENTO INDEPENDIENTE DE LA ARITMETICA Y EL

ALGEBRA. ............................................................................................................... 105

TEMA 5.- EL FINAL DEL MUNDO GRIEGO.

5.1.- RESEÑA DE LAS CIVILIZACIONES GRIEGAS. ...................................... 114

5.2.- LAS LIMITACIONES DE LA MATEMATICA GRIEGA. ......................... 116

5.3.- LOS PROBLEMAS LEGADOS POR LOS GRIEGOS. ............................... 118

5.4.- LA DESAPARICION DE LA CIVILIZACION GRIEGA. .......................... 119

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BIBLIOGRAFIA.

1.- LOS ORIGENES DE LA MATEMATICA CLASICA GRIEGA.

1.1.- EL MARCO HISTORICO.

En la historia de la civilización los griegos alcanzaron una posición preeminente, y en la

historia de la matemática su época fue una de las más brillantes. A pesar de que tomaron

muchos elementos prestados de las civilizaciones vecinas, los griegos edificaron una

civilización y una cultura originales, de las más impresionantes de toda la historia de la

humanidad, la que más a influido en el desarrollo de la cultura occidental moderna, y que fue

decisiva en la fundamentacion de la matemática tal como la entendemos hoy. Uno de los

grandes problemas de la historia de la cultura es el de dar cuenta de la brillantez y de la

creatividad de los antiguos griegos.

Aunque nuestro conocimiento de los orígenes de su historia esta sujeto, evidentemente,

a revisiones y clarificaciones según vallan avanzando las investigaciones arqueológicas,

tenemos motivos para creer, sobre la base de la Iliada y la Odisea de Homero, del

desciframiento de las antiguas lenguas y escrituras, y de las mismas excavaciones

arqueológicas, que la civilización griega se remonta hacia el 2800 a.C. Los griegos se instalaron

en Asia Menor, que pudo haber sido su lugar de origen, en el territorio continental europeo que

constituye la Grecia Moderna, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas, Delos y el norte de

Africa. Hacia el 775 a.C., los griegos sustituyeron varios sistema de escritura jeroglífica que

utilizaban por la escritura alfabética fenicia ( que también utilizaban ya los hebreos ). Con la

adopción del alfabeto, los griegos se convirtieron en un pueblo mas letrado y mucho más capaz

de registra tanto su historia como sus ideas.

Con el establecimiento definitivo de los griegos en estos territorios, entraron en contacto

comercial y cultural con los egipcios y los babilonios. Hay abundantes referencias en los

escritos clásicos griegos a los conocimientos de los egipcios, a los que algunos griegos llegaron

a considera erróneamente como los fundadores de la ciencia, en particular de la agrimensura, la

astronomía y la aritmética. Muchos griegos viajaron a Egipto para estudiar y conocer a sus

gentes, mientras otros visitaban a Babilonia, y allí aprendieron su matemática y otras ciencias.

La influencia de Egipto y de Babilonia seguramente fue muy sensible en Mileto, una

importante ciudad jónica en las costas de Asia Menor, en la que nacieron la filosofía, la

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matemática y las demás ciencias griegas. Mileto fue una importante y rica ciudad comercial del

Mediterráneo, a cuyo puerto llegaban los barcos tanto de la Grecia continental como de Fenicia

y de Egipto; Babilonia estaba, en cambio, conectada a Mileto por medio de rutas de caravanas

hacia el Este. Jonia cayo en manos de los persas hacia el 540 a.C., aunque Mileto conservo

cierto grado de independencia. Una vez aplastado, en 494 a.C. el levantamiento jonio contra

Persia, Jonia comenzó a perder toda su importancia. Volvió a formar parte de la Grecia

propiamente dicha en el 479 a.C., cuando los griegos derrotaron a los persas, pero para entonces

la actividad cultural se había desplazado ya al territorio de la Grecia continental con centro en

Atenas.

A pesar de que la civilización griega antigua duró hasta el 600 d.C., aproximadamente,

desde el punto de vista de la historia de la matemática conviene distinguir dos periodos: el

clásico, que va desde el 600 al 300 a.C., y el alejandrino o helenístico, desde el 300 a.C. al 600

d.C. La adopción del alfabeto que ya he mencionado, y el hecho de que el papiro estuviera

disponible en Grecia durante el siglo VII a.C. quizás puedan explicar el florecimiento cultural

que tuvo lugar hacia el 600 a.C. Indudablemente, el disponer de este material de escritura ayudo

mucho a la hora de difundir las ideas.

1.2.- LAS FUENTES GENERALES.

Sorprendentemente, las fuentes de las que procede nuestro conocimiento de la

matemática griega son menos directas y fiables que las que tenemos de la matemática egipcia y

babilónica, mucho más antiguas, debido a que no nos ha llegado ningún manuscrito original de

los matemáticos griegos importantes de esa época. Una razón es, sin duda, la de que el papiro es

un material de frágil consistencia; no obstante, los egipcios también utilizaron el papiro y, por

suerte, se salvaron unos pocos de sus documentos matemáticos. Algunos de los voluminosos

escritos griegos también podrían haber llegado hasta nosotros si no hubieran resultado

destruidas sus grandes bibliotecas.

Nuestras fuentes principales para las obras matemáticas griegas son los códices

bizantinos manuscritos en griego, escritos entre 500 y 1500 años después de que fueran escritas

las obras griegas originales. Estos códices no suelen ser reproducciones literales, sino ediciones

criticas, de manera que no podemos estar seguros de que tipo de cambios hicieron en su día los

editores. También disponemos a veces de traducciones al árabe de las obras griegas, y de las

versiones latinas de estas traducciones al árabe; aquí, una vez mas, no se sabe que cambios

pueden haber realizado los traductores ni hasta que punto entendían correctamente los textos

originales. Además, incluso los textos griegos utilizados por los autores árabes y bizantinos

pudieron muy bien ser de autenticidad dudosa. Por ejemplo, aunque no disponemos del

manuscrito de Heron, matemático griego de la época alejandrina, si sabemos que hizo un cierto

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numero de modificaciones en los Elementos de Euclides, dando demostraciones distintas y

añadiendo nuevos casos de teoremas y sus recíprocos. Análogamente, Teón de Alejandría (

finales del siglo IV d.C. ) nos dice que modificó algunas de las secciones de los Elementos en su

edición, y las versiones griegas y árabes que nos han llegado pueden provenir de tales versiones

de los originales. Sin embargo, de una u otra forma, lo cierto es que disponemos de las obras de

Euclides, de Apolonio, de Arquímedes, de Ptolomeo, de Diofanto y de otros muchos

matemáticos griegos. Muchos textos griegos escrito durante el periodo clásico y el alejandrino

no han llegado hasta nosotros porque ya incluso en plena época griega se vieron superados por

los escritos de estos autores.

Los griegos escribieron algunas historias de la matemática y de otras ciencias. Así, por

ejemplo, Eudemo ( siglo IV a.C. ), miembro de la escuela aristotélica, escribió una historia de la

aritmética, otra de la geometría y otra de la astronomía, historias que, salvo fragmentos citados

por escritores posteriores, se han perdido. La historia de la geometría trataba del periodo

anterior a Euclides, y evidentemente seria inapreciable disponer de ella. Teofrasto ( c.372-c.287

a.C. ), otro discípulo de Aristóteles, escribió por su parte una historia de la física, que también

se ha perdido, excepto unos cuantos fragmentos.

Además de los anteriores, tenemos dos importantes comentarios; Pappus ( finales del

siglo III d.C. ) escribió su Synagoge o Colección Matemática, de la que conservamos casi su

totalidad en una copia del siglo XII. Se trata de una exposición de la mayor parte de la obra de

los matemáticos griegos clásicos y alejandrinos desde Euclides a Ptolomeo, complementada por

un cierto numero de lemas y teoremas que añade Pappus para facilitar su comprensión. Pappus

mismo escribió también otra obra anterior titulada Tesoro del Análisis, que era una colección

formada por las propias obras griegas. Esta obra se ha perdido, pero el libro VII de su Colección

Matemática nos resume lo que contenía el Tesoro.

El segundo comentarista importante es Proclo ( 410-485 d.C. ), escritor muy prolífico.

Proclo extrajo su material de los textos originales de los matemáticos griegos y de otros

comentaristas anteriores. De las obras que nos han llegado, su Comentario, que estudia el libro

I de los Elementos de Euclides, es el mas importante. Según todos los indicios, Proclo trataba de

escribir un comentario más extenso de los Elementos, pero al parecer nunca lo hizo. El

Comentario contiene una de las tres citas atribuidas tradicionalmente a la historia de la

geometría de Eudemo, pero probablemente tomadas de una modificación posterior. Este

resumen concreto, el mas largo de los tres, suele conocerse como el < sumario > de Eudemo.

Proclo también nos dice algo sobre la obra de Pappus, de manera que, aparte de las ediciones y

versiones posteriores de los clásicos griegos mismos, la Colección Matemática de Pappus y el

Comentario de Proclo son las dos fuentes principales para historia de la matemática griega.

Por lo que se refiere a las redacciones literales originales ( aunque no, desde luego, los

manuscritos ), solo disponemos de un fragmento relativo a la cuadratura de las lúnulas de

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Hipócrates, citado por Simplicio ( primera mitad del siglo IV d.C ) y tomado de la Historia d la

Geometría perdida de Eudemo, y un fragmento de Arquitas sobre la duplicación del cubo, y de

los manuscritos originales nos han llegado algunos papiros escritos de la época alejandrina. Las

fuentes no estrictamente matemática, pero si próximas, han resultado ser también de un enorme

valor para la historia de la matemática griega. Por ejemplo, los filósofos griegos, especialmente

Platón y Aristóteles, tenían mucho que decir sobre la matemática, y sus escritos han sobrevivido

como las obras matemáticas mismas.

La reconstrucción de la historia de la matemática griega, basada en las fuentes que se

han mencionado, ha resultado una tarea gigantesca y complicada. A pesar de los grandes

esfuerzos de los historiadores, todavía quedan lagunas en nuestros conocimientos y algunas de

las conclusiones son discutibles; sin embargo, los hechos básicos están razonablemente claros.

2.- EL PERIODO CLASICO.

2.1.- LAS PRINCIPALES ESCUELAS DEL PERIODO CLASICO.

Las contribuciones más importantes del periodo clásico son los Elementos de Euclides y

las Secciones Cónicas de Apolonio. Para apreciar correctamente estas obras son necesarios

algunos conocimientos de los grandes cambios experimentados en la naturaleza de misma de la

matemática y de los problemas con que se enfrentaron, y resolvieron, los griegos. Por otra parte,

estas obras tan acabadas nos dan muy poca información sobre los trescientos años de actividad

creadora que las precedieron o de las cuestiones que iban a ser vitales en la historia posterior.

La matemática clásica griega se desarrollo en diversos centros que se sucedían unos a

otros, basándose cada uno en la obra de sus predecesores. En cada uno de estos centros, un

grupo informal de matemáticos realizaba sus actividades dirigidos por uno o mas sabios. Este

tipo de organización a seguido funcionando en la época moderna, y su razón de ser se

comprende fácilmente; hoy mismo, cuando un sabio importante se establece en un lugar en

concreto –normalmente en una Universidad, otros estudiosos le siguen para aprender del

maestro.

La primera de estas escuelas, la escuela jónica, fue fundada por Tales ( c.640-546 a.C. )

en Mileto. No se sabe con exactitud si Tales mismo enseño a muchos otros, pero si se sabe que

los filósofos Anaximandro ( c.610-c.547 a.C. ) y Anaxímenes ( c.550-480 a.C ) fueron

discípulos suyos. Anaxágoras ( c.500-c.428 a.C. ) perteneció también a esta escuela, y se supone

que Pitágoras mismo ( c.585-c.500 a.C. ) pudo haber aprendido matemáticas de Tales; mas

tarde, Pitágoras fundaría su propia e importante escuela en el sur de Italia. Hacia finales del

siglo IV, Jenofanes de Colofón, en Jonia, emigro a Sicilia y fundo a su vez un centro al que

pertenecieron los filósofos Parménides ( siglo V a.C. ) y Zenón ( siglo V a.C. ). Estos últimos se

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establecieron en Elea, en el sur de Italia, ciudad a la que se traslado la escuela, y por eso se

conoció a este grupo como la escuela Eleática. Los sofistas, que se mostraron activos desde

mediados del siglo V en adelante, se concentraron principalmente en Atenas, ciudad en la que la

escuela mas famosa fue la de Academia de Platón, de la que seria discípulo Aristóteles. La

academia tubo una importancia sin precedentes para el pensamiento griego, sus discípulos y

asociados fueron los mas grandes filósofos, matemáticos y astrónomos de su época; y esta

escuela conservaría su preeminencia en filosofía incluso después de que la capital de las

matemáticas pasara a Alejandría. Eudoxo, que aprendió matemáticas principalmente de Arquitas

de Tarento ( Sicilia), fundo su propia escuela en Cizico, ciudad del norte de Asia Menor.

Cuando Aristóteles abandono la academia de Platón, fundo a su vez otra escuela en Atenas, el

Liceo; esta escuela ha recibido tradicionalmente el nombre de Escuela Peripatética. No todos los

grandes matemáticos del periodo clásico pueden relacionarse con una escuela en concreto, pero

para mayor claridad y coherencia se estudiara la obra de cada matemático en relación con una

escuela en particular, incluso si su asociación a ella no fue demasiado estrecha.

2.1.1.- LA ESCUELA JONICA

El fundador de esta escuela y su figura mas importante fue Tales de Mileto. Aunque no

se sabe nada con seguridad acerca de su obra y de su vida. Tales nació y vivió probablemente en

Mileto; viajo mucho y durante algún tiempo vivió en Egipto, donde desarrollo actividades

comerciales y, al parecer, aprendió mucho acerca de la matemática egipcia. Se supone, además,

que fue un astuto comerciante que, aprovechando una buena cosecha de aceitunas, alquilo todas

las almazaras de Mileto y Chios para realquilarlas después a un precio mas alto. Se dice que

Tales anuncio un eclipse de sol en el año 585 a.C., pero esto es muy dudoso teniendo en cuenta

los conocimientos astronómicos de la época.

Se le atribuye también el calculo de las alturas de las pirámides comparando sus

sombras con la de un bastón de altura conocida, en el mismo instante, y mediante el mismo uso

de los triángulos semejantes se supone que calculo la distancia desde un buque a la playa.

También se le ha atribuido la transformación de la matemática en una ciencia abstracta, y haber

dado demostraciones deductivas de algunos teoremas, pero ambas cosas son de nuevo dudosas.

Por ultimo, se le ha atribuido a Tales el descubrimiento del poder de atracción de los imanes así

como de la electricidad estática.

La escuela jónica solo merece una breve mención por su contribución a la matemática

propiamente dicha, pero su importancia para la filosofía, y la filosofía de la ciencia en

particular, fue enorme. Esta escuela perdió su importancia a partir de la conquista de la región

por los persas.

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2.1.2.- LOS PITAGORICOS

La antorcha fue recogida por los pitagóricos que, habiendo aprendido de Tales, según se

cuenta, fundaron su propia escuela en Crotona, asentamiento griego en el sur de Italia. No se

conoce ninguna obra escrita por los pitagóricos, y solo se sabe de ellos por los escritos de otros,

entre los que hay que incluir a Platón y Herodoto. Concretamente, apenas se sabe nada de la

vida personal de Pitágoras y de sus seguidores, ni se puede tener la seguridad de qué hay que

atribuirle a él personalmente o a sus discípulos. Por lo tanto, cuando se habla de la obra de los

pitagóricos hay que tener en cuenta que en realidad nos estamos refiriendo a la obra del grupo

entre el 585 a.C., presunta fecha de su nacimiento, y aproximadamente el 400 a.C. Filolao (

siglo V a.C. ) y Arquitas ( 428-347 a.C. ) fueron dos miembros destacados de esta escuela.

Pitágoras nació en la isla de Samos, próxima a la costa de Asia Menor, y, después de

algún tiempo estudiando con Tales de Mileto, viajo a otros países, entre ellos Egipto y

Babilonia, donde asimilo su matemática al mismo tiempo que sus teorías místicas, y finalmente

se estableció en Crotona. En esta ciudad fundo una especie de hermandad de tipo religioso,

científico y filosófico. En realidad, era formalmente una escuela con un numero limitado de

miembros que aprendían de sus maestros. Las enseñanzas impartidas al grupo se mantenían en

secreto por parte de los miembros, aunque, por lo que se refiere a la matemática y a la física,

algunos historiadores niegan que existiera tal secreto. Se supone que los pitagóricos participaron

en la política de su cuidad aliándose con la facción aristocrática y terminaron siendo expulsados

violentamente por el partido democrático o popular. Pitágoras huyo a la cercana Metaponto y

allí murió, al parecer asesinado, hacia el 497 a.C. Sus seguidores se esparcieron por otras

ciudades griegas y continuaron sus enseñanzas.

Una de las grandes contribuciones griegas al concepto mismo de la matemática fue el

reconocimiento consciente y el énfasis puesto en el hecho de que los objetos matemáticos,

números y figuras geométricas, son abstracciones ideas producidas por la mente y claramente

distintas de los objetos o imágenes físicas. Es cierto que incluso algunas civilizaciones

primitivas, y con seguridad los egipcios y los babilonios, habían aprendido a pensar en los

números separados de los objetos físicos, y, sin embargo, cabe preguntarse en que medida eran

conscientes del carácter abstracto de tal pensamiento. Por otra parte, los conceptos geométricos

de todas las civilizaciones precedencias estaban decididamente ligados a la materia. Para los

egipcios, por ejemplo, una recta no era mas que una cuerda tensa o el borde de un terreno, y un

triángulo, su frontera.

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El reconocimiento de que la matemática trabaja con abstracciones puede atribuirse con

cierta seguridad a los pitagóricos. Sin embargo, puede que esto no fuera cierto desde el

principio; Aristóteles nos dice, por ejemplo, que los pitagóricos consideraban a los números

como los componentes últimos de los objetos materiales del mundo real. Así pues, los números

no tenían una existencia separada de los objetos sensibles. Cuando los primeros pitagóricos

decían que todos los objetos estaban compuestos por números ( enteros ), o que los números

eran la esencia del universo, lo entendían en sentido literal, porque los números eran para ellos

como los átomos para nosotros: Se supone incluso que los pitagóricos de los siglos VI y V no

distinguían realmente los números de los puntos geométricos, entendidos, naturalmente, como

puntos extensos o esferas minúsculas. Sin embargo, Eudemo, según informa Proclo, decía que

Pitágoras se remonto a principios mas altos ( que los de los egipcios y los babilonios ) y se

ocupo de problemas abstractos de la inteligencia pura. Eudemo añade que Pitágoras fue el

verdadero creador de la matemática pura, a la que convirtió en un arte liberal.

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en la arena o

piedrecillas, clasificándolos según las formas de estas distribuciones de piedras o de puntos.

Así, los números 1, 3, 6, 10, etc., recibían el nombre de triangulares porque los puntos

correspondientes podían distribuirse en forma de triángulo equilátero. El cuarto numero

triangular, el 10, ejerció una fascinación especial sobre los pitagóricos, siendo para ellos una

especie de numero sagrado, que tiene cuatro puntos en cada lado; el 4 era otro de sus números

favoritos.

Números triangulares

Los pitagóricos, comprobaron que las sumas 1, 1+2, 1+2+3, y así sucesivamente, daban

lugar a los números triangulares y que 1+2+...+ n = n ( n+1) / 2.

Los números 1, 4, 9, 16, etc.. recibieron el nombre de números cuadrados debido a que

sus puntos pueden distribuirse formando cuadrados. Los números compuestos ( o no primos )

que no eran cuadrados perfectos recibían el nombre de oblongos.

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Números Cuadrados

A partir de las distribuciones geométricas de los puntos aparecían como evidentes

ciertas propiedades de los números enteros; por ejemplo, trazando la recta del tercer numero

cuadrado se descubre que la suma de los dos números triangulares consecutivos es un numero

cuadrado. Esto es verdad en general, como se puede ver en la notación moderna:

n( n+1) + ( n+1)( n+2) = ( n+ 1)2

2

2

Sin embargo, es dudoso que los pitagóricos pudieran demostrar esta conclusión general.

Para pasar de un numero cuadrado al siguiente, los pitagóricos seguían el esquema de la

figura; los puntos a la derecha y bajo las rectas en la figura forman lo que ellos llamaban un

gnomon. Simbólicamente, lo que descubrieron era que n 2+(2 n+1)=( n+1)2.. Además, si partimos

del 1 añadimos el gnomon 3 y después el gnomon 5, y así sucesivamente, lo que tenemos es, en

nuestro simbolismo, 1+3+5+....+(2 n-1)= n 2.

Con respecto a la palabra “gnomon”, probablemente significo al principio, en Babilonia,

una varilla vertical cuya sombra marcaba la hora. En la época de Pitágoras significaba una

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escuadra de carpintero, y esta es la forma del gnomon anterior. También significaba lo que

queda de un cuadrado al cortar otro cuadrado mas pequeño de una de sus esquinas, y mas tarde,

con Euclides, significo lo que queda de un paralelogramo al cortar otro mas pequeño de una de

sus esquinas, siempre que este fuera semejan al primero.

Figura 2.1

Los pitagóricos también estudiaron los números poligonales, tales como los

pentagonales, hexagonales y otros, el primer numero pentagonal es el 1; el segundo, cuyos

puntos forman los vértices de un pentágono, es el 5; el tercero es 1+4+7=12, y así

sucesivamente. Análogamente, los números hexagonales son 1, 6, 15, 28, ...., y en general 2 n 2- n.

Se llamó número perfecto a todo aquel que es igual a la suma de sus divisores, incluido

el 1, pero no el propio número; por ejemplo, 6, 28, 496. A los que excedían a la suma de sus

divisores se les llamo excesivos, y al os que eran menores de dicha suma, defectivos. A dos

números se los llamo amigos cuando cada uno de ellos era igual a la suma de los divisores del

otro, por ejemplo, 284 y 220.

Los pitagóricos descubrieron una regla para construir ternas de números enteros que

pudieran ser lados de un triángulo rectángulo, sobre los cuales hablaremos mas en adelante. Así,

descubrieron que si m es impar, entonces m, ( m 2+1)/2 y ( m 2-1)/2 constituyen una de esas ternas.

Sin embargo esta regla solamente da alguna de ellas. Cualquier terna de números enteros que

represente los lados de un triángulo rectángulo recibe el nombre de terna pitagórica.

Para los pitagóricos, los números eran únicamente los números enteros y una razón

entre dos números no era una fracción y, por lo tanto, otro tipo de numero como en la época

moderna. Las fracciones concretas, utilizadas para expresar parte de una unidad monetaria o de

una medida, se utilizaban evidentemente en el comercio, pero tales usos comerciales de la

aritmética quedaban fuera del marco de la matemática griega propiamente dicha. Por lo tanto,

los pitagóricos se vieron desagradablemente sorprendidos por el descubrimiento de que algunas

razones , por ejemplo, la razón de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles a un cateto

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o, lo que es lo mismo, de la diagonal al lado de un cuadrado, no podían expresarse por medio de

números enteros. Dado que los pitagóricos se habían dedicado a estudiar las ternas de números

enteros que podían ser lados de un triángulo rectángulo, lo mas probable es que descubrieran

estas nuevas razones en el mismo contexto. Llamaron razones conmensurables a las que se

podían expresar por medio de números enteros, lo que significaba que las dos cantidades venían

medidas por una unidad común, y a las que no eran expresables de esa manera, razones

inconmensurables. Una razón entre magnitudes inconmensurables recibió el nombre de alogos o

inexpresable, aunque también se utilizo el termino arretos o que no tiene razón. El

descubrimiento de las razones inconmensurables se atribuye a Hipaso de Metaponto (siglo V a.

C.), suponiéndose que los pitagóricos se encontraban navegando en el mar en esa época y que

lanzaron a Hipaso por la borda como castigo por haber introducido en el universo un elemento

que negaba la teoría pitagórica de que todos los fenómenos del universo se podían reducir a

números enteros y sus razones.

En la matemática moderna las razones inconmensurables se expresan por medio de

números irracionales, pero los pitagóricos nunca habrían aceptado tales números. Los babilonios

trabajaron, de hecho, con tales números mediante aproximaciones, aunque probablemente no

sabían que tales aproximaciones sexagesimales fraccionarias nunca podían ser exactas, así como

tampoco los egipcios llegaron a reconocer el carácter distinto de los irracionales. Los

pitagóricos, al menos, reconocieron que las razones inconmensurables son de un tipo

completamente diferente de las conmensurables.

Este descubrimiento planteo un problema central en la matemática griega. Hasta este

momento los pitagóricos habían identificado numero y geometría, pero la existencia de razones

inconmensurables destruía esta identificación. No cesaron de considerar todo tipo de longitudes,

áreas y razones en geometría, pero se restringieron a considerar razones numéricas únicamente

para el caso conmensurable. La teoría de proporciones para razones inconmensurables y para

todo tipo de magnitudes se debe a Eudoxo, de cuya obra se hablara mas en adelante.

Hay algunos otros resultados geométricos descubiertos también por los pitagóricos. El

mas famoso es, desde luego, el mismísimo teorema de Pitágoras, un teorema clave para la

geometría euclidea, pero también se le atribuyen muchos de los teoremas que conocemos sobre

triángulos, rectas paralelas, polígonos, círculos, esferas y los poliedros regulares.

Concretamente, sabían que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, y entre otros

resultados conocían una teoría restringida de figuras semejantes y el hecho de que un plano

puede ser recubierto por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

Los pitagóricos empezaron a estudiar un tipo de problemas conocidos con el nombre de

aplicación de áreas. El mas sencillo de ellos era el de construir un polígono de área igual a uno

dado y semejante a otro dado. Otro consistía en construir una figura concreta con un área que

excedía o resultaba defectuosa de otra en un área dada. La forma mas importante del problema

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Iván Sánchez Menor Las Matemáticas en Grecia durante los años 800 a.C.- 600 d.C.

de aplicación de áreas es: dado un segmento, construir sobre una parte de él o sobre él mismo

extendido un paralelogramo igual en área a una figura rectilínea dada y resultando deficiente (

en el primer caso ) o excediendo ( en el segundo caso ) en un paralelo semejante a uno dado.

Mas adelante se vera con mas detenimiento estas aplicaciones al hablar de Euclides.

La contribución mas esencial de los griegos a la matemática fue su insistencia en que

todos los resultados matemáticos deberían ser establecidos deductivamente a partir de un

sistema explícito de axiomas. Por lo tanto, se plantea la cuestión de si los pitagóricos

demostraban ya sus resultados geométricos. No podemos dar una respuesta definitiva, pero es